谈谈启蒙与宗教
维护基督教信念的论争中有这么一个经典的例子：“有两个来自于同一个商人的陶器，如果认为其中一个是赝品，商人欺骗了我，那么有什么能够保证商人在另一个陶器上对我诚实呢？”信仰与理性在其中被类比为两个陶器。而类似地，启蒙与宗教都是人类的活动，如果认为其中的一种对于人类的进步没有益处，那么凭什么认定另一种便是真正地促进了人类的文明——当然这样想是有去价值化倾向的，会使人类的所有行为（无论善恶）都看起来无所差别。所以，我们需要认真地考察一下启蒙和宗教这两种活动的特征。
启蒙与宗教同属人类的生活方式，它们有着相当大的类似之处。
按照正规的辞典解释，毫无例外地都将启蒙与17到18世纪间欧洲的思想文化运动联合起来。启蒙意味着对个人进行教化，以使得他们掌握足够的知识，能够对个人与个人、个人与社会团体、社会团体与社会团体之间的关系作出危害最少的安排。启蒙要求自由以及宽容。之所以这么要求，一是缘于对人的尊严的维护，每个人都不可能成为另一个人，每个人都不可能强迫别人思考，人无可避免地处于社会之中，并且由于背景环境的不同，这些个人性强烈的部分往往会不同甚至会产生冲突，认识到这一点并且接受，把对方当作是和自己地位上同等的个体，非强迫地对待别人；另一则是缘于个人实现的需要，由于每个个体都是独立的个体，有着只属于自己的个人人格、体验，人在自由状态时，这些个人人格以及体验的形成是最为顺畅的。
宗教，尽管被马克思称为是“鸦片”，但是这不等于宗教的本质便是鸦片——的确宗教有鸦片的作用，而良师益友不也能够让人的精神平和么？
宗教往往都以追求真理为己任，这种真理不是对世界的事实性描述，也不是数学科学的真理，和道德生活的指导方针也不相同，毋宁说，宗教的“真理”是世俗真理的来源，是“最初”的真理。由于这个世界有着诸多不同的宗教，难以一一描述，所以这篇文章中的宗教将主要指的是基督宗教。基督教认为，上帝就是光，就是生命，就是道；万物都从上帝而来，都是不完满的（原罪），只有依赖上帝，个人才能摆脱不完满的状态。
信、望、爱是基督宗教的核心内容。
信，指的是对于上帝的信赖；一般地，“信”有三种用法，“相信”、“信任”和“信赖”。相信往往被用于“有根据地赞同或认可对方”的场合，例如在听取证人的证词和检验过证据之后，法官相信了原告的陈述——这种相信依赖于证词和证据；信任则是“无根据地或者几乎无根据地赞同或认可对方”，尽管信任的产生往往是有时间过程和根据，但是一旦“信任”的关系出现之后，那么就不再需要根据了，例如生死之交的信任、相濡以沫的信任以及爱人之间的信任等等；而信赖，在信任的基础上，还有一层“把自己托付给对方”的意思，即取消自己的独立性，将自主的能力交与对方。在个人与上帝的关系中，个人信赖上帝。
望，指的是对上帝之国临在的希望——主祷文中有这么一句“我父在天，愿尔名圣，尔国临格，尔旨得成，在地若天”。在基督教出现之前的犹太教便有着许多对于上帝之国和弥赛亚的期望，《旧约》中有着相当多的记述，尤其是在哀歌中，以色列人被掠夺之后。而《新约》也以各种方式，或者是通过耶稣的教诲，或者是通过先知的预言，来说明上帝之国将要来临，人们应当做好准备，免得在国的来临时惊慌失措。对于上帝之国的理解包括这两点：1，这个国度不是世俗意义上的国家，它对于权力是没有追求的。耶稣在野地经受考验的时候，魔鬼曾经出现，指着地上所有的城市，用对它们的统治来诱惑耶稣改变对上帝的信仰——这被耶稣断然拒绝了。2，上帝之国是属于彼岸还是此岸，依然有着争论。一种观点认为上帝之国一直没有来临，除非是福音传遍了世界，直到地底；一种观点则认为，自耶稣舍身之后上帝之国便临在了，只是处于一个过程中，没有完结，当个人由不信转变为信的时候，他进入了基督，整个世界于他崭然一新。
宗教，真正的宗教和政治活动之间是有着区别的。其中的一个最重要的便是宗教所指向的往往不是现世生活的幸福，它们和政治活动是彼岸和此岸的关系。基督教（一神教）的；佛教的；道教的。
2008年6月13日星期五
毕业论文样稿
毕业论文样稿
学生：陈星群，哲学系2004级，学号00423035，mist@live.com
指导老师：邢滔滔
哥德尔的本体论证明
摘 要
哥德尔1970年的时候提出了一个上帝存在的本体论证明。他采取的是二阶S5模态系统，通过把一些定义和共识形式化，来证明从上帝的定义可以演绎推理出上帝存在。本文试图分析其证明过程以及其中所包含的哲学思想。
关键词：本体论 本体论证明 上帝 模态坍塌 哥德尔
Gödel's Ontological Proof
XingQun Chen, Department of Philosophy
Supervised by TaoTao Xing
Abstract
In 1970 Kurt Gödel provided a proof of God’s existence. With an extension of S5 and some common formalized definitions, he gave a proof that from God’s definition to God’s existence. This article tries to analyze his process and philosophical ideas.
Keywords: Ontology, Ontological Proof, God, Modal Collapse, Kurt Gödel
目 录
【正文】... 1
一、哥德尔的证明... 1
二、相关的修正... 4
二．1）上帝的可认知性... 4
二．2）模态坍塌... 7
二．3）上帝的唯一性... 7
三、世界的结构... 9
四、总结... 9
【参考文献】... 11
【后记】... 11
【附录】... 12
【正文】
一、哥德尔的证明
本体论证明是只从上帝的定义以及其他的一些辅助的不涉及关于世界内容的非经验命题出发，而推导出“上帝存在”的证明。
哥德尔的证明是这样的。在证明中，他引入了“……是积极的[1]”这个二阶[2]性质[3]。上帝被描述为拥有所有积极性质的存在，并证明这样的存在是必然存在的。
公理一：如果一个性质是积极的，而且另一个性质也是积极的，那么这两个性质合在一起也是积极的。哥德尔自己的注释里说，对于任何被加的数字都成立。有穷数显然在他所指的范围中，而可数无穷或者不可数无穷是否也被包括，则是一个问题。——幸好在论证中可以看到，无论它们是否被包括在内，对于本体论论证并没有影响。
公理二：一个性质是积极的，或者它的否定是积极的。这里的“或”，是排斥性的析取，即两种情形有且只能有一种出现。如果用“实质蕴涵”来描述，这个公理实际上包括两个部分：a，如果一个性质是积极的，则它的否定不是积极的；b，如果一个性质不是积极的，则它的否定是积极的。a部分看起来颇为可靠，符合人们的通识，一件积极的事情的反面不会比它本身更优越，好的东西的反面不会比它更好。例如扶摔倒的老太太起来是一件好事，而不扶她，也许道德上可以不受谴责，但是总不如把她扶起来更好；有面包吃是好的，而没有面包吃，总不如有更好。而b部分，则不是那么地可靠了。因为我们认为，存在着一些无所谓（indifferent）的事情或者性质，无论是它们自身还是它们的反面，都不见得有一个更加积极的。在那个出名的童话故事中，长着驴耳朵的国王，是胖的或者不是胖的，都无所谓；我右手边的地上，是否有一只蚂蚁在爬，也是无所谓的；这块小石子是在这里也好，不是在这里也好，不见得哪种情形就要比另一种情形更“积极”。
那么，究竟什么是“积极的”？
1970年的手稿中，哥德尔说：“‘……是积极的’指的是道德上或美学上的积极（它们和世界的结构无关）。只有这样，这些公理才是真的。‘……是积极的’也意味着是纯粹的“属性”[4]（即，用基本性质来表示的析取范式中包含着一个非否定的基本 性质），与“缺失[5]”（或者包含缺失）相对应。”和世界的结构无关，意味着这种积极的性质是绝对积极、必然积极的。而“纯粹的‘属性’”这个词，也有些含混：属性是依附于实体的；而纯粹的实在意味着必然的存在者；哥德尔也许是继承了古希腊以来的思想，把属性和实在等同起来。至少是在“纯粹的善”这一点。
在另一个笔记中，哥德尔对本体论证明作了4点说明[6]，详细地表述了他对“积极”的理解：
1，把“积极性质”解读为“善[7]”是不可能的，因为最大限度的优点和最小限度的不足放在一起依然是否定的[8]。
2，也许可以把“积极的”视为“完美的[9]”；即，“纯粹的善[10]”（不能用善来代替），即不实质蕴含任何对“纯粹的善”的否定。由此主要的公理便（必然地）是：一个性质是一个完美的性质，当且仅当，它不会实质蕴含任意完美性质的否定。除此之外，还需要的公理是（不需要假设一个性质或者它的否定是积极的）：对完美性质施加必然化后得到的性质依然是完美性质，以及，存在是一种完美。
3，如果积极的性质被解释为断言（包括重言式），消极的性质被解读为缺失（包括矛盾，以及部分缺失，即，缺失与断言的合取），那么2里面提到的公理就能很好地运作。第一条公理说的是，积极的性质形成了一个最大相容的系统。第二条公理在这里要比2中更加可靠（对于2，它的成立，仅当预设必然化以后的完美性质仍然是一致的）。而第三条公理则是多余的。
4，对积极性质必然化而得到的性质也是积极的，这是本体论证明的一个基本的预设。如果假定ϕ(x)⊃ Nϕ(x) ，那么很容易就可以证明对于每个相容的关于性质的系统，都有一个东西和它对应，不过这是很讨厌的方法。ϕ(x)⊃ Nϕ(x)应该从上帝的存在而导出。
1，哥德尔的这句话，大概是因为“善（good，好）”是相对的，在我们的道德和美学意义上的善或者美丽，总是处于一个可比较的序列中。可比较的东西，在遇到比它更高级的事物时，它就会显得不足。善的便会变成不善的，美丽的则会成为不美丽的。而“最大限度的优点和最小限度的不足放在一起依然是否定的”，哥德尔要的是一种纯粹的东西，要的是不含“否定”的善，不会变得不善的“善”，不会变得不美丽的“美丽”。那么，只有“至善”才能满足了。
哥德尔的这种想法使我联想起算术。集合的基数从自然数可以生成可数无穷大，从可数无穷大又可以进一步生成不同层次的不可数无穷大。而不同的基数是可以比较大小的。至善似乎对应于最大的基数——那么这种至善是否只是一种虚幻的错觉？
2，由于在基督教神学的传统中，完美是和存在联系的，所以这种解释和基督教最为密切。托马斯·阿奎那在谈论善恶问题时曾经说到：“没有任何东西在本质上就是恶的，因为一切存在作为存在来说都是善的。”“善与存在在实质上是同一的，只是在概念上有所不同而已。”“因为一切存在作为存在来说都具有现实性，因而也都以某种方式是完美的；而完美也就蕴含着可欲和善。[11]”而对于完美与善，他也说道：“一个事物的美与善在实体上是同一的，因为它们都是以形式为基础的：这就是为什么人们会把善当作美来称赞的缘故。不过，它们在概念上又是不同的。”[12]
奥古斯丁曾说：“邪恶意志本身并不是某事物的效力，而是一种缺失。源自最高存在的某种缺失，相对于最高存在而言，具有较低的存在，这就是邪恶意志的开端。[13]”“如果一物丧失了所有的‘善’，便不再存在。……事物如果存在，自有其善的成分。[14]”“善”与“恶”的本体论地位并不相称，不是说有两种东西，一种是善的，一种是恶的；而是只有一种——善的。善、美和存在，在托马斯·阿奎那他们看来至多只有概念的区分。而因为存在与善是同一的，拥有的实在程度越高，那么拥有的善也就越多，所以至善，或者哥德尔所指的“perfection，pure good”就是和必然存在所同一的。积极的性质，或者说纯粹的善，必然被现实化。
3，若是把积极性质与断言等同起来，那么或许会出现一种危险：既然存在只是一种断言，因而我们想要论证的结果就不是“上帝必然存在”，而变成了“必然这是一种断言：上帝存在”。所以这种解读并不是很可取。
4，预先假定ϕ(x)⊃ Nϕ(x)必然会导致模态坍塌，因为哥德尔所用到的系统是基于S5的某个扩张，由T公理，立刻可以得到ϕ(x)↔ Nϕ(x)。所以，必须对这些性质ϕ作限定，把它们限制为上帝拥有的性质——不过这些是上帝拥有的哪部分性质仍然有争议，下文在讨论别人的批评的时候会谈到“模态坍塌”这个问题。
在这个笔记中，哥德尔唯一明确地表明了是“积极的性质”的只有“存在”，而在1970年的手稿中，他直接把“‘必然存在’是积极的性质”作为公理，这样便回避了康德那个经典的反驳——“存在是伪性质”。但是除了存在、必然存在之外，以及全能、全知、至善这三种，我们还能知道什么是上帝的性质呢？哥德尔什么也没有说。毕竟他的目的是证明上帝存在，而不是谈论上帝。
定义一：某个实体是似上帝的[15]，当且仅当，它拥有任意积极的性质。这是“上帝”定义的描述。
定义二：某个性质是某个实体的本质，当且仅当，这个性质严格蕴含该实体的任意性质。这是“本质”定义的描述。在哥德尔的另一篇笔记中[16]，这个定义则是，“某个性质是某个实体的本质，当且仅当，该实体拥有这个性质，并且这个性质严格蕴含该实体的任意性质”。
公理三：如果一个性质是积极的，那么必然地这个性质是积极的；如果一个性质不是积极的，那么必然地这个性质不是积极的。这一点是哥德尔对积极性质的要求——“与世界的结构无关”。由T公理可知，如果必然地一个性质是积极的，那么这个性质就是积极的；如果必然地一个性质不是积极的，那么这个性质就不是积极的。
定理一：如果某个实体是似上帝的，那么“似上帝的”这个性质就是它的本质。
要推导这点，我先介绍一个引理：
引理：如果某个实体是似上帝的，那么它的任意性质都是积极的。
证明：反证。假设某实体x是似上帝的，并且拥有性质ϕ，ϕ不是积极的。由公理二，~ϕ是积极的，由上帝的定义，x拥有~ϕ，即x没有性质ϕ，这和假定是矛盾的[17]。因此，似上帝的实体只拥有积极的性质。证毕。
下面开始这个定理的证明：假设某实体x是似上帝的，并且ϕ是x的任意性质。由引理，那么ϕ是积极的。由上帝的定义，必然地如果ϕ是积极的，则任意似上帝的实体都拥有ϕ。由K公理，必然地如果ϕ是积极的，则必然地似上帝的实体都拥有ϕ。而由公理三，如果ϕ是积极的，那么必然地ϕ是积极的。由此可以得到，必然地似上帝的实体都拥有ϕ。即，性质“似上帝的”严格蕴含ϕ。因此，任意属于x的性质都被性质“似上帝的”严格蕴含。由“本质”的定义，如果某个实体是似上帝的，那么“似上帝的”这个性质就是它的本质。证毕。
定义：某实体是必然存在的，当且仅当，它的任意本质必然地有实例。
公理四：性质“必然存在”是积极的。
定理二：a“某实体是似上帝的”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”；
b因此，“存在似上帝的实体”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”；
c因此，“可能存在似上帝的实体”实质蕴含“可能必然地存在似上帝的实体”；
d“可能存在似上帝的实体”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”。
证明：由上帝的定义和公理四，似上帝的实体拥有性质“必然存在”；由定理一和必然存在的定义，性质“似上帝”是本质，因此，似上帝的实体必然地有实例，即a“某实体是似上帝的”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”；因此，b“存在似上帝的实体”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”；对b必然化，并且由K公理可得c“可能存在似上帝的实体”实质蕴含“可能必然地存在似上帝的实体”；由S5公理有“可能必然地存在似上帝的实体”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”，因此有d“可能存在似上帝的实体”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”。证毕。
到这里为止，哥德尔证明了从“可能存在”到“必然存在”，还剩下的一步就是证明上帝“可能存在”。可能存在上帝，在哥德尔看来是上帝这个概念是一致的，在上帝的概念中不包含也不导出矛盾。他说，“可能存在一个似上帝的实体，意味着所有积极性质形成的系统是相容的。这一点的成立由公理五来保证。
公理五：如果一个性质ϕ是积极的，并且必然地性质ϕ实质蕴含性质ψ，那么性质ψ也是积极的。这个公理实质蕴含自我同一式[18]是积极的，而自我矛盾式[19]不是积极的。而如果一个积极性质的系统不是相容的[20]，这将意味着所有性质的总和（这是一个积极的性质）会导致x≠x。”公理五是为了确认神义论，即源自上帝的所有事情、造物、秩序都是善的，恶并不来自于上帝——按照前文奥古斯丁的观点，恶来自于缺失[21]。
二、相关的修正
哥德尔的证明在他生前并没有公开发表，而是经由丹内·司各特和索贝尔等人在小圈子中流行。实际的讨论中，索贝尔的版本[22]流传的更为广泛。索贝尔1987年的论文发表之后，引起了许多学者对此讨论和修改。他们对哥德尔这个证明的批评主要有三个方面：1）上帝的可认知性；2）模态坍塌；3）上帝的唯一性。
二．1）上帝的可认知性
上帝的可认知性问题[23]指的是，在上帝的存在被证明之后，这种哥德尔式的上帝并不是可以感觉到或者可以认识到的。
由上帝的定义，上帝拥有任意积极的性质；并且，任意性质或者是积极的或者不是积极的：因此可得上帝只拥有积极的性质[24]。对于可以感觉到的性质，例如广延、硬度、颜色、气味等等，毫无疑问，这些都是不可能判定哪个比哪个更为积极——何以见得方形要优于圆形？上帝会有形体么？何以见得软的就比硬的好或是硬的就比软的好？红橙黄绿蓝等等成千上万种颜色中，什么样的搭配才是上帝的颜色？上帝有气味么？……如果以偏序关系来比喻，可感觉到的性质往往都处于一个无限的序列之中——在这种情况不存在一个最大点，或者不能排成序列——这种情况下则不具有可比性；那么哥德尔所说的那种“与世界结构无关”的积极性质，最起码是不包括可感性质的。如果每个面容之外都有一张更加美丽的脸；如果每个形体之外都有一个更完美的形体；那么上帝就不以有形的形象向人们显示么？当然，这种问题就像那个经典问题一样："如果对每个世界来说都有一个更完美的世界，那么是否上帝就不创造世界了？"
严格地说，哥德尔的上帝和传统中的上帝并没有多大区别。在《神学大全》中，托马斯·阿奎那多次谈到上帝的不可知。对于上帝的形体，他说：“上帝不是一个三维的形体，因为上帝是最高贵的存在，而任何一个形体都不可能是最高贵的存在[25]。”并且人类要认识上帝只有通过上帝自身向人显示才能做到。他说：“人不可能凭借自己的自然能力直接看见上帝的本质，而是必须依赖上帝自身向人显示，也就是依赖上帝的恩惠、依赖神性启示之光的协助。正是出于这一原因，在《圣经》中，上帝和天使都被描述成以火的形象出现，因为火是那样的壮丽辉煌、光芒灿烂。”而《圣经》本身也以某种形式暗示我们，上帝是不可知的。上帝告诉摩西没有活人能看到他的脸[26]，而耶稣作为人和上帝的中介来到世上[27]，也似乎是上帝不可被认知的佐证。
那么，对于上帝所拥有的性质，我们还能知道多少？一个不可知的上帝能够在多大程度上被谈论？面对一个这样的存在，人们是爱恋，还是仇恨？是欲求，还是厌恶？是希望，还是绝望？是畏惧，还是勇敢？是愤怒，还是欢乐，或是哀伤？
阿尔文·普兰丁格曾经提到过希克的一种想法，把上帝看作是所有否定性质的集合体。在《基督教信念的知识地位》第一部分第二章B节中，对于否定性质，他是这么说的：“……（1）每一个性质或是肯定的[28]，或是否定的，（2）每个性质都有其补性质，（3）一个性质P的补性质跟P有相反的意思（就是说，肯定性质的补是否定的，否定性质的补是肯定的），（4）与一个给定的性质等价的性质与前者具有相同的意思，（5）实在者不具有我们领会了的肯定性质。（我们已经看到，这条原理有例外的情形，但暂且忽略这一点。）此外，（6）所有我们领会了的否定性质都不蕴含任何我们领会了的肯定性质；否则实在者就会具有被我们所领会的否定性质蕴含的肯定性质。合取性质与析取性质情况如何呢？一个合取性质P&Q是否定的，当且仅当P和Q都是否定的。（如果P&Q是否定的，而P是肯定的或Q是肯定的，则否定的P&Q就会蕴含一个肯定的性质，这时实在者就会具有这个肯定性质。）析取性质情况如何呢？我们领会了的性质的析取PVQ不可能是肯定的，如果P是否定的或Q是否定的；否则这个肯定的PVQ就会被这个否定的P或否定的Q所蕴含。”
据此，可以列出一个真值（肯定值）表：
P
Q
~P
P&Q
PVQ
P⊃Q
肯定
肯定
否定
肯定
肯定
否定
肯定
否定
否定
肯定
否定
否定
否定
肯定
肯定
肯定
否定
肯定
否定
否定
肯定
否定
否定
否定
而由哥德尔的公理，也可以列出一个真值（积极值）表
P
Q
~P
P&Q
PVQ
P⊃Q
积极
积极
消极
积极
积极
积极
积极
消极
消极
消极
积极
消极
消极
积极
积极
消极
积极
积极
消极
消极
积极
消极
消极
积极
对比一下，希克的上帝只拥有否定的性质，而哥德尔德的上帝只拥有积极的性质；如果希克的否定意味着哥德尔的积极，那么这两类上帝所拥有的性质其实是一样的。哥德尔并没有给出过判定积极或是消极性质的步骤，或许他认为传统以来的理解以及他的公理就足够了——而他的公理中明确说明是积极性质的，只有一个，必然存在[29]。因此从哥德尔的证明中，对于上帝的性质，我们所能知道确知的，只有“必然存在”。此外，按照传统的观点，睿智、慈爱、善良等性质也归属于上帝，——那么这些性质在哥德尔那里是积极的，而在希克那里则是否定的。[30]
“存在”这种性质被康德证明为虚假的谓词，而这种看法也的确得到了许多拥护；而必然存在，是否也是虚假的呢？
那么真实的性质，或者是真实的谓词是什么意思？性质一般被视作是一个不带主语的句子，例如一元性质“……是红的”，二元性质“……是……的哥哥”。康德的意思是，真正的谓词必须对对象有所言说，而存在，并没有说出对象的什么，在说“xx存在”的时候，和仅仅说“xx”，并没有添加任何描述xx的信息。
也许“xx存在”这句话的确没有“说出”关于xx的任何信息，但是，考虑到各个命题都处于一个背景之中时，也许“存在”并不是一个虚假的谓词。在我们的使用中，语言本身就给存在增添了信息。例如在现代物理中，“xx存在”意味着“如果用某种工具测量，那么就能够得到某个数据反馈”。美国的科学家，科普作家卡尔·萨根在《魔鬼出没的世界》第十章“车库中的飞龙”中曾经举过一个例子：
“在我的车库里有一条喷火的龙。”
（我正在追踪心理学家理查德·富兰克林进行的分组疗法研究）。假如我非常肯定地对你这么说，你一定想亲眼看一下。几个世纪以来流传着无数关于龙的故事，但从没有真凭实据。这可是个好机会！
“带我看看。”你说。我带你到我的车库。你往里看，看到的是一个梯子，一些空的油漆桶和一辆旧的三轮车，但没有龙。
“龙在哪里？”你问道。
“噢，它就在这儿。”我回答说，胡乱地挥了挥手，“我忘了说明，它是一条看不见的龙。”
你建议在车库地板上撒上面粉以获取龙的爪印。
“好主意，”我说：“但龙是浮在空中的。”
然后你想用一个红外线探测仪检测龙喷出的看不见的火。
“好主意，但看不见的火也不会发热。”
你想对龙喷漆使它现身。
“好主意，但它是非物质的龙，油漆无处可粘。”如此如此。你每提出一种物理检测方法，我就找个特殊理由来说明你的办法不会有效。
现在，一条看不见的、无实体的、浮在空中的、喷着没有热度的火的龙与根本没有龙之间有什么区别呢？如果没有办法反驳我的争辩，没有可以让人信服的试验来反对它，说我的龙确实存在意味着什么呢？你不能证明我的假设不成立，这与能证实它成立是完全不同的两回事。不能检验的观点和无法证伪的断言实际上毫无价值，不论它们在给我们以启示或是在激起我们的好奇心方面有些什么用处。我要你做的就是在缺乏证据的情况下，相信我的个人意见。
无论本体论证明做的是不是“在缺乏证据的情况下”相信基督教的个人意见，这里可以看出重要的一点是，“存在”，意味着可观测。由于说“一杯水”时，并不涉及到对它的观测以及观测期望，而说“一杯水存在”时意味着如果对它观测会得到透明、无色无味、液体、密度等等一系列的结果，所以存在并不是一个虚假的谓词。
不过这样来理解存在，也许会带来一个问题，即没有真正的一元性质，只有二元或者更高元的性质——这是诉诸“可观测”所带来的，因为可观测，要求至少有一个观测者（无论是人还是仪器），至少有一个观测仪器（无论是人的器官还是其他的工具）。而事实上，一元性质也可以用涉及多个对象的性质来描述，例如“……是红色的”，可以描述为，“当光波射到……上面时，它会反射波长为0.62～0.76μm的电磁波”。由于每个性质都能被其他性质所解释，那么这种解释最终是否会停止在某些原子性质上，还是由整个性质系统所互相支持？这个问题因而显得有点像是知识论中的“基础论”和“融贯论”之争，解决的办法，应该也是类似的吧？不过知识论问题至今似乎并没有得到一个平息争论的解决方法。
二．2）模态坍塌
哥德尔的证明中的另一个问题就是由上帝的必然存在所带来的：模态坍塌。模态坍塌指的是：所有模态命题都失效，模态命题成为实然命题。例如，可能明天天晴，等价于，明天天晴，等价于，必然明天天晴。
索贝尔的思想[31]大致是这样的：
上帝的必然存在会导致上帝的性质都必然具有实例。而所有事实上为真的命题都可以和上帝所拥有的任意性质一起形成一个新的性质ϕ，例如，“……是自我同一的”（上帝的性质）和“2008年北京举办奥运会”（事实上为真的命题）和在一起能够形成一个新的性质－－“……是自我同一的，并且2008年北京举办奥运会”。上帝事实上具有这个新的性质ϕ，所以ϕ是积极并且，上帝必然拥有任何积极的性质。而上帝是必然存在的，这意味着上帝在每个可能世界中都存在，所以在每个可能世界里都有这个新的性质ϕ。也就是说，在每个可能世界里，"北京在2008年举行奥运会"都是真的。对于其他的实然命题也是如此。
二．3）上帝的唯一性
对于索贝尔的批评，主要的对策有三种：1）修改公理二和"本质"的定义[32]。2）取消“必然存在是积极的”这条公理[33]；3）限制证明中的性质为内在性质[34]，或者非关系性质[35]。
1）前面提到，公理二实际上包括两个部分：a，如果一个性质是积极的，则它的否定不是积极的；b，如果一个性质不是积极的，则它的否定是积极的。a部分是可靠的，而b部分则不可靠。安德尔森的建议是保留可靠的那一半，去除b部分。并且把本质的定义修改为：ϕ是x的本质，当且仅当，对任意性质ψ，x必然地拥有ψ当且仅当ϕ必然蕴含ψ。
修改公理二之后会带来一个恶果，满足安德尔森要求的上帝会有许多位。这一点是由奥匹所指出的。在2000年的论文[36]中，奥匹的思想是这样的。首先定义了一个新的积极性质的集合P@，P@满足两个条件：
1，P@对实质蕴含和必然化规则封闭；
2，P@包括必然存在这个性质；
哥德尔的积极性质的定义构成了一个极大集，而奥匹的P@则是任意地拣取原有的极大集中包含有“必然存在”的真子集。由于这些子集各自也是相容的集合，它们也满足安德尔森修改后的证明，因此，原来的证明便可以证明出，这些真子集中的每一个都对应于一个必然的存在者——这是奥匹把哥德尔的证明称为高尼罗式证明的原因，因为哥德尔也“只是把上帝定义为必然存在”。对公理二的修改，会把原来积极性质的集合从唯一的极大集变成这个极大集的不同子集；所以对这个公理的修改是失败的。
2）在1987年的论文中，提出建议不要把必然存在看作是积极性质之后，索贝尔并没有给出更进一步的解决方案来维持哥德尔的证明。而如果不在上帝的定义中引入存在或者引入必然存在，那么本体论证明似乎就无法达到它的效果了。是否“必然存在”也只是一个虚假的谓词？有一种说法是，由于必然存在说的是在任意可能世界中都存在，说某物必然存在，那么并不是没有给它增添信息，而是的确有所言说：无论在何种可能世界，它都存在。而我并不赞同这种看法。采取康德的观点，说某物存在并没有说出什么新的东西；而说某物必然存在，可以分解为一系列的合取式：在可能世界a存在，且在可能世界b中存在，且在可能世界c中存在……既然在每一个合取支中存在都是虚假的谓词，那么根据什么认为，在重复这个虚假的谓词多次以后，它就对于该物体或者是对于世界有所言说呢？
如果认为存在不是虚假的谓词，那么，也许我们可以定义为与其它事物发生关系？例如，可以在现实世界中定义，某物存在，当且仅当它拥有质量或者能量等可以被观测到的性质；而对于数学对象，也可以定义为，数学对象存在，当且仅当它满足某种数学关系；诸如此类等等。
3）库恩斯在2005年的文章中提出，把性质限制为内在（intrinsic）性质，这样关于世界的实然命题就不是上帝的内在性质，例如“……是自我同一的，并且2008年北京举办奥运会”这个性质便不是内在性质，因而不能算作是上帝的性质，不可以被必然现实化，于是，这样就不会出现模态坍塌。亚当斯则建议把上帝的性质限制为非关系（nonrelational）性质，这样，与世界有关的性质自然不能被算在上帝的性质里面，模态坍塌自然也不会产生了。
内在性质也许是有的，例如自我同一性[37]或者自我矛盾性；不过除此之外，我怀疑是否还有其他的内在性质，并且，对于存在着非关系的性质这一点，我也表示怀疑。前面谈到，用“可观测”来理解“存在”的话，会带来“不存在一元性质”的疑难，对于内在性质，也许会产生同样的问题：不存在内在性质，只存在关系性质。例如“……是诚实的”，意味着“如果有人问……问题，如果……回答了，那么……不会说谎”[38]。
也许模态坍塌并需要对性质做出限制来解决。或许对命题加上标签，就可以避免模态坍塌了。例如对于每个关于现实世界的命题都加上“在现实世界中”这个限定。
因而无论在哪个可能世界，这个命题都是真的，而且不会引起模态坍塌：在现实世界中，上帝拥有“……是自我同一的，并且2008年北京举办奥运会”这个性质。
三、世界的结构
如果上帝存在，那么这个事实会对世界产生什么影响？
哥德尔采取的系统是基于S5的，有T公理和E公理。而S5系统中的可能世界满足自反性（由T公理NP→P与∀ xRxx的对应）和欧性（由E公理MP→NMP与∀ x∀ y∀ z(Rxy&Rxz→Ryz)的对应），这意味着各个可能世界的地位都是相同的，所有的可能世界都互相通达且自我通达，即每个可能世界都能够成为任意地其他的可能世界，并且每个世界都能成为它自身。后者当然是符合理性，而任何宗教对此应该也不会有反驳——除非是那种认为自己既是又不是自己的宗教；而对于前者，似乎没有哪个世界具有独一无二的优越性，也许和基督教对世界的理解不同，圣经中未曾提到上帝创造了其他世界，但是却说到按上帝的形象造人，并把万物交由人来掌管[39]；也和一些哲学家对世界的理解不同——至少莱布尼茨认为现实世界是最完美的那个可能世界。
如果添加一个限制条件，赋予现实世界最高的地位会怎么样？
按照“存在与善、美是同一”的观点，并且按照“现实世界具有最高的完美”的观点，那么顺理成章地可知现实世界拥有最实在的存在。如果把Rab（世界a可通达到世界b）解读为“世界a可能变化成世界b”，并且认为在上帝促使可能世界现实化的时候，不会把可能世界的完美程度降低[40]，即Rab中b的完美程度要比a高（因而b不会比a拥有更少的实在），那么可以得出一个式子[41]：
∀ x∃ y(Rxy&∀ z(Ryz→z=y)，x、y、z代表可能世界。
这个式子是指，对任意的可能世界x，都存在着一个世界y，x可通达到y（即x可能变化成y），并且任意的可能世界z，如果y可通达到z（即y可能变化成z），那么z和y必然是同一的（即y是端点，至多只通达到自身）。
这个式子对应的模态公式是Mckinsey公式NMP→MNP，在S4的系统下，即有T公理和4公理NP→NNP的系统下，即S4.1系统[42]。这样的世界架构首先满足自反性以及传递性（由NP→NNP与∀ xy(Rxy→∀ z(Ryz→Rxz))），并且对每个世界都具有一个最值点。
那么，如何保证不同的可能世界的最值点都是同一的呢？即有一个最完美的世界？添加这么一个一阶公式也许可以保证：
∀ xyuv{[(Rxy→x=y)&(Ruv→u=v)]→x=u}
不过对应的模态公式是什么我现在无法确定，并且也不知道这个一阶公式能否用一个模态公式来表示。在只有一个世界的模型中，这是自然而然成立的；而在一个只有死点的模型中，这也是自然而然成立的。不过这个系统也许还有其它的哲学意义。
四、总结
在哥德尔的证明中，我认为最不可靠的一个公理是公理四——性质“必然存在”是积极的。由于定义中上帝拥有所有的积极性质，这意味着哥德尔把必然存在包含在上帝的定义中——这一点恰恰是高尼罗最不满托马斯·阿奎那论证的一点。
可是，如果上帝的定义中不包含存在或者必然存在这类词语，还能怎么样证明出上帝存在呢？演绎推理、逻辑推理，或是数学推理等并不提供新的知识，它们所得出的结论都是前提中已经包含有的——如果说它们的确提供了新的知识，也只是因为推理的过程对于人们而言是“新的”，是他们之前所不会的。也许，上帝存在与否，包含着这个世界的信息的宇宙论证明才是最可靠的。
【参考文献】
C. Anthony Anderson: Some Emendations of Gödel's Ontological Proof, from Faith and Philosophy, Vol. 7, July 1990
Jordan Howard Sobel: Gödel's Ontological Proof, from On Being and Saying, edited by Judith Jarvis Thomson, MIT Press, 1987
Johan van Benthem: Correspondence Theory, from Handbook of Philosophical Logic 2nd Edition, Volume 3, Editors: D. M. Gabbay and F. Guenthner, Kluwer Academic Publishers, 2001
Kurt Gödel: Collected Works, Volume III, edited by Solomon Feferman, Oxford University Press, 1995
Oppy: Response to Gettings, 2000, from http://www.blackwell-synergy.com/doi/abs/10.1111/146
7-8284.00256
Robert C. Koons: Sobel on Gödel's Ontological Proof, 2005, from http://www.phil.pku.edu.cn/cllc/
阿尔文·普兰丁格：《基督教信念的知识地位》，邢滔滔、徐向东、张国栋、梁骏译，北京大学出版社，2004
托马斯·阿奎那：《上帝没有激情》，段德智主编，湖北人民出版社，2001
奥古斯丁：《忏悔录》，周士良译，商务印书馆，1996
奥古斯丁：《上帝之城》，王晓朝译，人民出版社，2006
【后记】
这个题目是我在大四第一学期时初步定下来的，当时上的课是邢滔滔老师开的《本体论论证》，学习了自阿瑟伦以来到普兰丁格的本体论证明。尽管如此，这篇论文写的仍然并不是很好，非常感谢邢老师在我写作中的指导以及宽容。
【附录】
1哥德尔的原稿如下，来自Kurt Gödel: Collected Works, Volume III：
Ontological proof
Feb. 10, 1970
P(ϕ) ϕ is positive (or ϕ ∈ P).
Axiom 1. P(ϕ ). P(ψ )⊃ P(ϕ.ψ ) (And for any number of summands.)
Axiom 2. P(ϕ ) ∨ P(~ϕ ). (Exclusive or.)
Definition 1. G(x)≡ (ϕ )[P(ϕ )⊃ ϕ (x)] (God)
Definition 2. ϕ Ess.x ≡ (ψ)[ψ (x)⊃ N(y)[ϕ (y)⊃ ψ(y)]]. (Essence of x) (Any two essences of x are necessarily equivalent.)
p⊃N q =N(p⊃ q). Necessity
Axiom 3. P(ϕ )⊃ NP(ϕ)
~ P(ϕ )⊃ N~P(ϕ)
because it follows from the nature of the property.
Theorem. G(x)⊃ G Ess.x.
Definition. E(x)≡(ϕ)[ϕ Ess x ⊃ N(∃ x)ϕ(x)]. (necessary Existence)
Axiom 4. P(E).
Theorem. G(x)⊃ N(∃y)G(y),
hence (∃ x)G(x)⊃ N(∃ y)G(y);
hence M(∃ x)G(x)⊃ MN(∃ y)G(y). (M=possibility)
M(∃ x)G(x)⊃ N(∃ y)G(y).
M(∃ x)G(x) means the system of all positive properties is compatible. This is true because of:
Axiom 5. P(ϕ).ϕ⊃ Nψ:⊃ P(ψ), which implies
(x=x) is positive and (x≠ x) is negative.
But if a system S of positive properties were incompatible, it would mean that the sum property s (which is positive) would be x≠ x.
Positive means positive in the moral aesthetic sense (independently of the accidental structure of the world). Only then are the axioms true. It may also mean pure “attribution” (I.e., the disjunctive normal form in terms of elementary properties contains a number without negation.) as opposed to “privation” (or containing privation). This interpretation supports a simpler proof.
2索贝尔的证明如下，来自Jordan Howard Sobel: Gödel's Ontological Proof：
A1.P(~ϕ)↔~P(ϕ)
A2.(P(ϕ)&□∀x(ϕ(x)→ψ(x)))→P(ψ)
Th.1.P(ϕ)→◇∃xϕ(x)
Def.G:G(x)↔∀ϕ(P(ϕ)→ϕ(x))
A3.P(G)
A4.P(ϕ)→□P(ϕ)
Def.Ess.FEssx↔ϕ(x)&∀ψ[ψ(x)→□∀y(ϕ(y)→ψ(y))]
Th.2.G(x)→GEssx
Def.NE.NE(x)↔∀ϕ[ϕEssx→□∃xϕ(x)]
A5.P(NE)
Th.3.□∃xG(x)
[1] … is positive. 数学中positive通常翻译为“正的”，例如positive number，正数；而物理与化学中则译为“阳性的”。
[2] 至少是二阶的，因为它是关于性质的性质。
[3] property.
[4] pure attribution, attribution这里译为“属性”，以和“性质property”区分。这个词组与pure good类似。
[5] privation. 缺失的性质不能被当作真正的性质。中世纪神学家在解决恶（evil）的难题时，以为恶不是真实的实在，而只是实在的缺失。就如同残疾是肢体机能的缺失一般。缺失不增加新的实体。缺失的性质并不描述关于世界的任何东西，也不增加新的知识，和其他的对世界的描述的性质不同。
[6] Kurt Gödel: Collected Works, Volume III, p435, edited by Solomon Feferman, Oxford University Press, 1995.
[7] good.
[8] negative.
[9] perfective.
[10] purely good.
[11] 托马斯•阿奎那：《上帝没有激情》，第89页，段德智主编，湖北人民出版社，2001。
[12] 同上，第114页。
[13] 奥古斯丁：《上帝之城》，12卷7章，第502页，王晓朝译，人民出版社，2006
[14] 奥古斯丁：《忏悔录》，7卷12章，第127页，周士良译，商务印书馆，1996
[15] God-like，哥德尔手稿中并没有出现这个词，我是参照Sobel 1987和Anderson 1990的文章而这么定的。
[16] Kurt Gödel: Collected Works, Volume III, p431, edited by Solomon Feferman, Oxford University Press, 1995.
[17] 当然，如果解读为上帝自身包含矛盾，那是另一回事，只是这种解读超出理性，似乎不可思议。
[18] x=x
[19] x≠x
[20] 似乎由紧致性定理，一个命题集没有模型，当且仅当存在它的一个没有模型的有限子集。假定这个系统不一致，然后从这个没有模型的有限子集和公理一，“如果一个性质是积极的，而且另一个性质也是积极的，那么这两个性质合在一起也是积极的”，总可以在一个有限步骤内找到一个反证——难点可能在于，如何挑拣出那个不一致的有限子集。
[21] 不存在恶，或者不存在缺失的世界，似乎只有在一个只存在上帝的世界里才会这样。因为只要有任意一个不同于上帝的存在a，那么a就是不完美的，在某个方面有着缺失。这样似乎得出这么一个结论：如果上帝不创造世界，那么也就没有恶的问题了。不过也许这么理解恶的产生，过于把责任推给了上帝。托马斯·阿奎那在《神学大全》1集48题3条中说到：“恶一般意指善的不在场。不过，并不是善的一切不在场都必然是恶。因为善的不在场具有‘缺失’和‘否定’良种意义。否定意义上的善的不在场并不是恶；不然的话，我们就将得出一个结论：凡是不存在的东西都是恶的；或者说，每个事物都会因为它们并不拥有属于其他事物的善而变成恶的。例如，一个人实际上并不会因为他不具有小鹿的敏捷或是狮子的力量而变成恶的。”
在一篇笔记中，说明本体论论证成立后，哥德尔431提到过：“也许这是另外一个证明？如果不是确实存在着任何实在的东西，那么也许会准确地推导出确实存在着某些东西（超越了仅仅作为概念上的实在）。”因为本体论证明仅仅是从概念出发而得出上帝存在这个先天真理，这意味着“确实存在着”的东西，它的实在，是可以被不是实存的概念所担保的。也许这可以用来解决外部世界的问题，即使所有的一切都是虚幻的，即使正在思的我也不存在，那么，毕竟还是有着某些实实在在的东西。——也许至少上帝是如此。
[22] 索贝尔在1987年的论文中给出了一个这样的证明：
公理一：性质~ϕ是积极的，当且仅当性质~ϕ的否定ϕ不是积极的。这个公理好的一半是，如果性质~ϕ是积极的，那么性质ϕ不是积极地；坏的一半是，如果性质ϕ不是积极地，那么性质~ϕ是积极的。
公理二：如果性质ϕ是积极的；并且必然地，对于任意实体x，如果x拥有性质ϕ，那么x拥有性质ψ；那么性质ψ也是积极的。
定理一：如果性质ϕ是积极的，那么就可能存在实体x，使得x拥有这个性质。
上帝的定义：某个实体是似上帝的[22]，当且仅当，它拥有任意积极的性质。
公理三：“似上帝的”这个性质是积极的。
公理四：如果一个性质是积极的，那么必然地，这个性质就是积极的。
本质的定义：某个性质是某个实体的本质，当且仅当，该实体拥有这个性质，并且这个性质严格蕴含该实体的任意性质。
定理二：如果某个实体是似上帝的，那么“似上帝的”这个性质就是它的本质。
必然存在的定义：某实体是必然存在的，当且仅当，它的任意本质必然地有实例。
公理五：性质“必然存在”是积极的。
定理三：上帝必然存在。
[23] Jordan Howard Sobel: Gödel's Ontological Proof, p248-250, from On Being and Saying, edited by Judith Jarvis Thomson, MIT Press, 1987.
[24] 通过反证法可证：假设上帝拥有非积极的性质ϕ，由公理二，~ϕ是积极的。由上帝的定义，上帝拥有~ϕ——即上帝即有ϕ又没有ϕ这个性质。
[25] 托马斯•阿奎那：《上帝没有激情》，第1页，段德智主编，湖北人民出版社，2001。
[26] 出埃及记33：20，“你不能看见我的面，因为人见我的面不能存活。”
[27] 约翰福音1：18，“从来没有人看见神，只有在父怀里的独生子将他表明出来。”
[28] 肯定的，与积极的，都是同一个意思——至少字面上是positive；而否定的，消极的，用的是negative。
[29] 前文提到在哥德尔的笔记中曾经把being当作完美，即，把存在当作是积极的性质。
[30]这里会不会有一种危险，即一种性质是积极或是消极，是肯定或是否定，只是在初始定义的时候偶然拣选的？
[31] Jordan Howard Sobel: Gödel's Ontological Proof, p251-254, from On Being and Saying, edited by Judith Jarvis Thomson, MIT Press, 1987.
[32] C. Anthony Anderson: Some Emendations of Gödel's Ontological Proof, p295-p296, from Faith and Philosophy, Vol. 7, July 1990.
[33] Jordan Howard Sobel: Gödel's Ontological Proof, p254, from On Being and Saying, edited by Judith Jarvis Thomson, MIT Press, 1987.
[34] Robert C. Koons: Sobel on Gödel's Ontological Proof, 2005.
[35] Kurt Gödel: Collected Works, Volume III, p402, edited by Solomon Feferman, Oxford University Press, 1995.
[36] Oppy: Response to Gettings, 2000.
[37] 自我同一也许不能算作是真正的性质，因为它什么也没有言说。
[38] 这里有一个问题，未曾实现过的性质是否被个体所拥有？例如灯泡在接通电源时会发亮，而如果一个灯泡一直没有被接通电源，那么它是否会发亮？例如一个人，如果他一辈子都未曾说过话，那么他是否会说话？如果一个人一辈子都未曾提起过质量超过1公斤的物体，那么他是否拥有“能提起质量超过1公斤的物体”这个性质？
[39] 《创世纪》1章26节。
[40] 这是由上帝的至善所保证的。
[41] 这个式子是我所知的最贴切“特殊世界”的式子，一定还有更贴切的，只是我不知道罢了。
[42] Johan van Benthem: Correspondence Theory, from Handbook of Philosophical Logic 2nd Edition, Volume 3, p356, Editors: D. M. Gabbay and F. Guenthner, Kluwer Academic Publishers, 2001.
学生：陈星群，哲学系2004级，学号00423035，mist@live.com
指导老师：邢滔滔
哥德尔的本体论证明
摘 要
哥德尔1970年的时候提出了一个上帝存在的本体论证明。他采取的是二阶S5模态系统，通过把一些定义和共识形式化，来证明从上帝的定义可以演绎推理出上帝存在。本文试图分析其证明过程以及其中所包含的哲学思想。
关键词：本体论 本体论证明 上帝 模态坍塌 哥德尔
Gödel's Ontological Proof
XingQun Chen, Department of Philosophy
Supervised by TaoTao Xing
Abstract
In 1970 Kurt Gödel provided a proof of God’s existence. With an extension of S5 and some common formalized definitions, he gave a proof that from God’s definition to God’s existence. This article tries to analyze his process and philosophical ideas.
Keywords: Ontology, Ontological Proof, God, Modal Collapse, Kurt Gödel
目 录
【正文】... 1
一、哥德尔的证明... 1
二、相关的修正... 4
二．1）上帝的可认知性... 4
二．2）模态坍塌... 7
二．3）上帝的唯一性... 7
三、世界的结构... 9
四、总结... 9
【参考文献】... 11
【后记】... 11
【附录】... 12
【正文】
一、哥德尔的证明
本体论证明是只从上帝的定义以及其他的一些辅助的不涉及关于世界内容的非经验命题出发，而推导出“上帝存在”的证明。
哥德尔的证明是这样的。在证明中，他引入了“……是积极的[1]”这个二阶[2]性质[3]。上帝被描述为拥有所有积极性质的存在，并证明这样的存在是必然存在的。
公理一：如果一个性质是积极的，而且另一个性质也是积极的，那么这两个性质合在一起也是积极的。哥德尔自己的注释里说，对于任何被加的数字都成立。有穷数显然在他所指的范围中，而可数无穷或者不可数无穷是否也被包括，则是一个问题。——幸好在论证中可以看到，无论它们是否被包括在内，对于本体论论证并没有影响。
公理二：一个性质是积极的，或者它的否定是积极的。这里的“或”，是排斥性的析取，即两种情形有且只能有一种出现。如果用“实质蕴涵”来描述，这个公理实际上包括两个部分：a，如果一个性质是积极的，则它的否定不是积极的；b，如果一个性质不是积极的，则它的否定是积极的。a部分看起来颇为可靠，符合人们的通识，一件积极的事情的反面不会比它本身更优越，好的东西的反面不会比它更好。例如扶摔倒的老太太起来是一件好事，而不扶她，也许道德上可以不受谴责，但是总不如把她扶起来更好；有面包吃是好的，而没有面包吃，总不如有更好。而b部分，则不是那么地可靠了。因为我们认为，存在着一些无所谓（indifferent）的事情或者性质，无论是它们自身还是它们的反面，都不见得有一个更加积极的。在那个出名的童话故事中，长着驴耳朵的国王，是胖的或者不是胖的，都无所谓；我右手边的地上，是否有一只蚂蚁在爬，也是无所谓的；这块小石子是在这里也好，不是在这里也好，不见得哪种情形就要比另一种情形更“积极”。
那么，究竟什么是“积极的”？
1970年的手稿中，哥德尔说：“‘……是积极的’指的是道德上或美学上的积极（它们和世界的结构无关）。只有这样，这些公理才是真的。‘……是积极的’也意味着是纯粹的“属性”[4]（即，用基本性质来表示的析取范式中包含着一个非否定的基本 性质），与“缺失[5]”（或者包含缺失）相对应。”和世界的结构无关，意味着这种积极的性质是绝对积极、必然积极的。而“纯粹的‘属性’”这个词，也有些含混：属性是依附于实体的；而纯粹的实在意味着必然的存在者；哥德尔也许是继承了古希腊以来的思想，把属性和实在等同起来。至少是在“纯粹的善”这一点。
在另一个笔记中，哥德尔对本体论证明作了4点说明[6]，详细地表述了他对“积极”的理解：
1，把“积极性质”解读为“善[7]”是不可能的，因为最大限度的优点和最小限度的不足放在一起依然是否定的[8]。
2，也许可以把“积极的”视为“完美的[9]”；即，“纯粹的善[10]”（不能用善来代替），即不实质蕴含任何对“纯粹的善”的否定。由此主要的公理便（必然地）是：一个性质是一个完美的性质，当且仅当，它不会实质蕴含任意完美性质的否定。除此之外，还需要的公理是（不需要假设一个性质或者它的否定是积极的）：对完美性质施加必然化后得到的性质依然是完美性质，以及，存在是一种完美。
3，如果积极的性质被解释为断言（包括重言式），消极的性质被解读为缺失（包括矛盾，以及部分缺失，即，缺失与断言的合取），那么2里面提到的公理就能很好地运作。第一条公理说的是，积极的性质形成了一个最大相容的系统。第二条公理在这里要比2中更加可靠（对于2，它的成立，仅当预设必然化以后的完美性质仍然是一致的）。而第三条公理则是多余的。
4，对积极性质必然化而得到的性质也是积极的，这是本体论证明的一个基本的预设。如果假定ϕ(x)⊃ Nϕ(x) ，那么很容易就可以证明对于每个相容的关于性质的系统，都有一个东西和它对应，不过这是很讨厌的方法。ϕ(x)⊃ Nϕ(x)应该从上帝的存在而导出。
1，哥德尔的这句话，大概是因为“善（good，好）”是相对的，在我们的道德和美学意义上的善或者美丽，总是处于一个可比较的序列中。可比较的东西，在遇到比它更高级的事物时，它就会显得不足。善的便会变成不善的，美丽的则会成为不美丽的。而“最大限度的优点和最小限度的不足放在一起依然是否定的”，哥德尔要的是一种纯粹的东西，要的是不含“否定”的善，不会变得不善的“善”，不会变得不美丽的“美丽”。那么，只有“至善”才能满足了。
哥德尔的这种想法使我联想起算术。集合的基数从自然数可以生成可数无穷大，从可数无穷大又可以进一步生成不同层次的不可数无穷大。而不同的基数是可以比较大小的。至善似乎对应于最大的基数——那么这种至善是否只是一种虚幻的错觉？
2，由于在基督教神学的传统中，完美是和存在联系的，所以这种解释和基督教最为密切。托马斯·阿奎那在谈论善恶问题时曾经说到：“没有任何东西在本质上就是恶的，因为一切存在作为存在来说都是善的。”“善与存在在实质上是同一的，只是在概念上有所不同而已。”“因为一切存在作为存在来说都具有现实性，因而也都以某种方式是完美的；而完美也就蕴含着可欲和善。[11]”而对于完美与善，他也说道：“一个事物的美与善在实体上是同一的，因为它们都是以形式为基础的：这就是为什么人们会把善当作美来称赞的缘故。不过，它们在概念上又是不同的。”[12]
奥古斯丁曾说：“邪恶意志本身并不是某事物的效力，而是一种缺失。源自最高存在的某种缺失，相对于最高存在而言，具有较低的存在，这就是邪恶意志的开端。[13]”“如果一物丧失了所有的‘善’，便不再存在。……事物如果存在，自有其善的成分。[14]”“善”与“恶”的本体论地位并不相称，不是说有两种东西，一种是善的，一种是恶的；而是只有一种——善的。善、美和存在，在托马斯·阿奎那他们看来至多只有概念的区分。而因为存在与善是同一的，拥有的实在程度越高，那么拥有的善也就越多，所以至善，或者哥德尔所指的“perfection，pure good”就是和必然存在所同一的。积极的性质，或者说纯粹的善，必然被现实化。
3，若是把积极性质与断言等同起来，那么或许会出现一种危险：既然存在只是一种断言，因而我们想要论证的结果就不是“上帝必然存在”，而变成了“必然这是一种断言：上帝存在”。所以这种解读并不是很可取。
4，预先假定ϕ(x)⊃ Nϕ(x)必然会导致模态坍塌，因为哥德尔所用到的系统是基于S5的某个扩张，由T公理，立刻可以得到ϕ(x)↔ Nϕ(x)。所以，必须对这些性质ϕ作限定，把它们限制为上帝拥有的性质——不过这些是上帝拥有的哪部分性质仍然有争议，下文在讨论别人的批评的时候会谈到“模态坍塌”这个问题。
在这个笔记中，哥德尔唯一明确地表明了是“积极的性质”的只有“存在”，而在1970年的手稿中，他直接把“‘必然存在’是积极的性质”作为公理，这样便回避了康德那个经典的反驳——“存在是伪性质”。但是除了存在、必然存在之外，以及全能、全知、至善这三种，我们还能知道什么是上帝的性质呢？哥德尔什么也没有说。毕竟他的目的是证明上帝存在，而不是谈论上帝。
定义一：某个实体是似上帝的[15]，当且仅当，它拥有任意积极的性质。这是“上帝”定义的描述。
定义二：某个性质是某个实体的本质，当且仅当，这个性质严格蕴含该实体的任意性质。这是“本质”定义的描述。在哥德尔的另一篇笔记中[16]，这个定义则是，“某个性质是某个实体的本质，当且仅当，该实体拥有这个性质，并且这个性质严格蕴含该实体的任意性质”。
公理三：如果一个性质是积极的，那么必然地这个性质是积极的；如果一个性质不是积极的，那么必然地这个性质不是积极的。这一点是哥德尔对积极性质的要求——“与世界的结构无关”。由T公理可知，如果必然地一个性质是积极的，那么这个性质就是积极的；如果必然地一个性质不是积极的，那么这个性质就不是积极的。
定理一：如果某个实体是似上帝的，那么“似上帝的”这个性质就是它的本质。
要推导这点，我先介绍一个引理：
引理：如果某个实体是似上帝的，那么它的任意性质都是积极的。
证明：反证。假设某实体x是似上帝的，并且拥有性质ϕ，ϕ不是积极的。由公理二，~ϕ是积极的，由上帝的定义，x拥有~ϕ，即x没有性质ϕ，这和假定是矛盾的[17]。因此，似上帝的实体只拥有积极的性质。证毕。
下面开始这个定理的证明：假设某实体x是似上帝的，并且ϕ是x的任意性质。由引理，那么ϕ是积极的。由上帝的定义，必然地如果ϕ是积极的，则任意似上帝的实体都拥有ϕ。由K公理，必然地如果ϕ是积极的，则必然地似上帝的实体都拥有ϕ。而由公理三，如果ϕ是积极的，那么必然地ϕ是积极的。由此可以得到，必然地似上帝的实体都拥有ϕ。即，性质“似上帝的”严格蕴含ϕ。因此，任意属于x的性质都被性质“似上帝的”严格蕴含。由“本质”的定义，如果某个实体是似上帝的，那么“似上帝的”这个性质就是它的本质。证毕。
定义：某实体是必然存在的，当且仅当，它的任意本质必然地有实例。
公理四：性质“必然存在”是积极的。
定理二：a“某实体是似上帝的”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”；
b因此，“存在似上帝的实体”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”；
c因此，“可能存在似上帝的实体”实质蕴含“可能必然地存在似上帝的实体”；
d“可能存在似上帝的实体”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”。
证明：由上帝的定义和公理四，似上帝的实体拥有性质“必然存在”；由定理一和必然存在的定义，性质“似上帝”是本质，因此，似上帝的实体必然地有实例，即a“某实体是似上帝的”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”；因此，b“存在似上帝的实体”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”；对b必然化，并且由K公理可得c“可能存在似上帝的实体”实质蕴含“可能必然地存在似上帝的实体”；由S5公理有“可能必然地存在似上帝的实体”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”，因此有d“可能存在似上帝的实体”实质蕴含“必然地存在似上帝的实体”。证毕。
到这里为止，哥德尔证明了从“可能存在”到“必然存在”，还剩下的一步就是证明上帝“可能存在”。可能存在上帝，在哥德尔看来是上帝这个概念是一致的，在上帝的概念中不包含也不导出矛盾。他说，“可能存在一个似上帝的实体，意味着所有积极性质形成的系统是相容的。这一点的成立由公理五来保证。
公理五：如果一个性质ϕ是积极的，并且必然地性质ϕ实质蕴含性质ψ，那么性质ψ也是积极的。这个公理实质蕴含自我同一式[18]是积极的，而自我矛盾式[19]不是积极的。而如果一个积极性质的系统不是相容的[20]，这将意味着所有性质的总和（这是一个积极的性质）会导致x≠x。”公理五是为了确认神义论，即源自上帝的所有事情、造物、秩序都是善的，恶并不来自于上帝——按照前文奥古斯丁的观点，恶来自于缺失[21]。
二、相关的修正
哥德尔的证明在他生前并没有公开发表，而是经由丹内·司各特和索贝尔等人在小圈子中流行。实际的讨论中，索贝尔的版本[22]流传的更为广泛。索贝尔1987年的论文发表之后，引起了许多学者对此讨论和修改。他们对哥德尔这个证明的批评主要有三个方面：1）上帝的可认知性；2）模态坍塌；3）上帝的唯一性。
二．1）上帝的可认知性
上帝的可认知性问题[23]指的是，在上帝的存在被证明之后，这种哥德尔式的上帝并不是可以感觉到或者可以认识到的。
由上帝的定义，上帝拥有任意积极的性质；并且，任意性质或者是积极的或者不是积极的：因此可得上帝只拥有积极的性质[24]。对于可以感觉到的性质，例如广延、硬度、颜色、气味等等，毫无疑问，这些都是不可能判定哪个比哪个更为积极——何以见得方形要优于圆形？上帝会有形体么？何以见得软的就比硬的好或是硬的就比软的好？红橙黄绿蓝等等成千上万种颜色中，什么样的搭配才是上帝的颜色？上帝有气味么？……如果以偏序关系来比喻，可感觉到的性质往往都处于一个无限的序列之中——在这种情况不存在一个最大点，或者不能排成序列——这种情况下则不具有可比性；那么哥德尔所说的那种“与世界结构无关”的积极性质，最起码是不包括可感性质的。如果每个面容之外都有一张更加美丽的脸；如果每个形体之外都有一个更完美的形体；那么上帝就不以有形的形象向人们显示么？当然，这种问题就像那个经典问题一样："如果对每个世界来说都有一个更完美的世界，那么是否上帝就不创造世界了？"
严格地说，哥德尔的上帝和传统中的上帝并没有多大区别。在《神学大全》中，托马斯·阿奎那多次谈到上帝的不可知。对于上帝的形体，他说：“上帝不是一个三维的形体，因为上帝是最高贵的存在，而任何一个形体都不可能是最高贵的存在[25]。”并且人类要认识上帝只有通过上帝自身向人显示才能做到。他说：“人不可能凭借自己的自然能力直接看见上帝的本质，而是必须依赖上帝自身向人显示，也就是依赖上帝的恩惠、依赖神性启示之光的协助。正是出于这一原因，在《圣经》中，上帝和天使都被描述成以火的形象出现，因为火是那样的壮丽辉煌、光芒灿烂。”而《圣经》本身也以某种形式暗示我们，上帝是不可知的。上帝告诉摩西没有活人能看到他的脸[26]，而耶稣作为人和上帝的中介来到世上[27]，也似乎是上帝不可被认知的佐证。
那么，对于上帝所拥有的性质，我们还能知道多少？一个不可知的上帝能够在多大程度上被谈论？面对一个这样的存在，人们是爱恋，还是仇恨？是欲求，还是厌恶？是希望，还是绝望？是畏惧，还是勇敢？是愤怒，还是欢乐，或是哀伤？
阿尔文·普兰丁格曾经提到过希克的一种想法，把上帝看作是所有否定性质的集合体。在《基督教信念的知识地位》第一部分第二章B节中，对于否定性质，他是这么说的：“……（1）每一个性质或是肯定的[28]，或是否定的，（2）每个性质都有其补性质，（3）一个性质P的补性质跟P有相反的意思（就是说，肯定性质的补是否定的，否定性质的补是肯定的），（4）与一个给定的性质等价的性质与前者具有相同的意思，（5）实在者不具有我们领会了的肯定性质。（我们已经看到，这条原理有例外的情形，但暂且忽略这一点。）此外，（6）所有我们领会了的否定性质都不蕴含任何我们领会了的肯定性质；否则实在者就会具有被我们所领会的否定性质蕴含的肯定性质。合取性质与析取性质情况如何呢？一个合取性质P&Q是否定的，当且仅当P和Q都是否定的。（如果P&Q是否定的，而P是肯定的或Q是肯定的，则否定的P&Q就会蕴含一个肯定的性质，这时实在者就会具有这个肯定性质。）析取性质情况如何呢？我们领会了的性质的析取PVQ不可能是肯定的，如果P是否定的或Q是否定的；否则这个肯定的PVQ就会被这个否定的P或否定的Q所蕴含。”
据此，可以列出一个真值（肯定值）表：
P
Q
~P
P&Q
PVQ
P⊃Q
肯定
肯定
否定
肯定
肯定
否定
肯定
否定
否定
肯定
否定
否定
否定
肯定
肯定
肯定
否定
肯定
否定
否定
肯定
否定
否定
否定
而由哥德尔的公理，也可以列出一个真值（积极值）表
P
Q
~P
P&Q
PVQ
P⊃Q
积极
积极
消极
积极
积极
积极
积极
消极
消极
消极
积极
消极
消极
积极
积极
消极
积极
积极
消极
消极
积极
消极
消极
积极
对比一下，希克的上帝只拥有否定的性质，而哥德尔德的上帝只拥有积极的性质；如果希克的否定意味着哥德尔的积极，那么这两类上帝所拥有的性质其实是一样的。哥德尔并没有给出过判定积极或是消极性质的步骤，或许他认为传统以来的理解以及他的公理就足够了——而他的公理中明确说明是积极性质的，只有一个，必然存在[29]。因此从哥德尔的证明中，对于上帝的性质，我们所能知道确知的，只有“必然存在”。此外，按照传统的观点，睿智、慈爱、善良等性质也归属于上帝，——那么这些性质在哥德尔那里是积极的，而在希克那里则是否定的。[30]
“存在”这种性质被康德证明为虚假的谓词，而这种看法也的确得到了许多拥护；而必然存在，是否也是虚假的呢？
那么真实的性质，或者是真实的谓词是什么意思？性质一般被视作是一个不带主语的句子，例如一元性质“……是红的”，二元性质“……是……的哥哥”。康德的意思是，真正的谓词必须对对象有所言说，而存在，并没有说出对象的什么，在说“xx存在”的时候，和仅仅说“xx”，并没有添加任何描述xx的信息。
也许“xx存在”这句话的确没有“说出”关于xx的任何信息，但是，考虑到各个命题都处于一个背景之中时，也许“存在”并不是一个虚假的谓词。在我们的使用中，语言本身就给存在增添了信息。例如在现代物理中，“xx存在”意味着“如果用某种工具测量，那么就能够得到某个数据反馈”。美国的科学家，科普作家卡尔·萨根在《魔鬼出没的世界》第十章“车库中的飞龙”中曾经举过一个例子：
“在我的车库里有一条喷火的龙。”
（我正在追踪心理学家理查德·富兰克林进行的分组疗法研究）。假如我非常肯定地对你这么说，你一定想亲眼看一下。几个世纪以来流传着无数关于龙的故事，但从没有真凭实据。这可是个好机会！
“带我看看。”你说。我带你到我的车库。你往里看，看到的是一个梯子，一些空的油漆桶和一辆旧的三轮车，但没有龙。
“龙在哪里？”你问道。
“噢，它就在这儿。”我回答说，胡乱地挥了挥手，“我忘了说明，它是一条看不见的龙。”
你建议在车库地板上撒上面粉以获取龙的爪印。
“好主意，”我说：“但龙是浮在空中的。”
然后你想用一个红外线探测仪检测龙喷出的看不见的火。
“好主意，但看不见的火也不会发热。”
你想对龙喷漆使它现身。
“好主意，但它是非物质的龙，油漆无处可粘。”如此如此。你每提出一种物理检测方法，我就找个特殊理由来说明你的办法不会有效。
现在，一条看不见的、无实体的、浮在空中的、喷着没有热度的火的龙与根本没有龙之间有什么区别呢？如果没有办法反驳我的争辩，没有可以让人信服的试验来反对它，说我的龙确实存在意味着什么呢？你不能证明我的假设不成立，这与能证实它成立是完全不同的两回事。不能检验的观点和无法证伪的断言实际上毫无价值，不论它们在给我们以启示或是在激起我们的好奇心方面有些什么用处。我要你做的就是在缺乏证据的情况下，相信我的个人意见。
无论本体论证明做的是不是“在缺乏证据的情况下”相信基督教的个人意见，这里可以看出重要的一点是，“存在”，意味着可观测。由于说“一杯水”时，并不涉及到对它的观测以及观测期望，而说“一杯水存在”时意味着如果对它观测会得到透明、无色无味、液体、密度等等一系列的结果，所以存在并不是一个虚假的谓词。
不过这样来理解存在，也许会带来一个问题，即没有真正的一元性质，只有二元或者更高元的性质——这是诉诸“可观测”所带来的，因为可观测，要求至少有一个观测者（无论是人还是仪器），至少有一个观测仪器（无论是人的器官还是其他的工具）。而事实上，一元性质也可以用涉及多个对象的性质来描述，例如“……是红色的”，可以描述为，“当光波射到……上面时，它会反射波长为0.62～0.76μm的电磁波”。由于每个性质都能被其他性质所解释，那么这种解释最终是否会停止在某些原子性质上，还是由整个性质系统所互相支持？这个问题因而显得有点像是知识论中的“基础论”和“融贯论”之争，解决的办法，应该也是类似的吧？不过知识论问题至今似乎并没有得到一个平息争论的解决方法。
二．2）模态坍塌
哥德尔的证明中的另一个问题就是由上帝的必然存在所带来的：模态坍塌。模态坍塌指的是：所有模态命题都失效，模态命题成为实然命题。例如，可能明天天晴，等价于，明天天晴，等价于，必然明天天晴。
索贝尔的思想[31]大致是这样的：
上帝的必然存在会导致上帝的性质都必然具有实例。而所有事实上为真的命题都可以和上帝所拥有的任意性质一起形成一个新的性质ϕ，例如，“……是自我同一的”（上帝的性质）和“2008年北京举办奥运会”（事实上为真的命题）和在一起能够形成一个新的性质－－“……是自我同一的，并且2008年北京举办奥运会”。上帝事实上具有这个新的性质ϕ，所以ϕ是积极并且，上帝必然拥有任何积极的性质。而上帝是必然存在的，这意味着上帝在每个可能世界中都存在，所以在每个可能世界里都有这个新的性质ϕ。也就是说，在每个可能世界里，"北京在2008年举行奥运会"都是真的。对于其他的实然命题也是如此。
二．3）上帝的唯一性
对于索贝尔的批评，主要的对策有三种：1）修改公理二和"本质"的定义[32]。2）取消“必然存在是积极的”这条公理[33]；3）限制证明中的性质为内在性质[34]，或者非关系性质[35]。
1）前面提到，公理二实际上包括两个部分：a，如果一个性质是积极的，则它的否定不是积极的；b，如果一个性质不是积极的，则它的否定是积极的。a部分是可靠的，而b部分则不可靠。安德尔森的建议是保留可靠的那一半，去除b部分。并且把本质的定义修改为：ϕ是x的本质，当且仅当，对任意性质ψ，x必然地拥有ψ当且仅当ϕ必然蕴含ψ。
修改公理二之后会带来一个恶果，满足安德尔森要求的上帝会有许多位。这一点是由奥匹所指出的。在2000年的论文[36]中，奥匹的思想是这样的。首先定义了一个新的积极性质的集合P@，P@满足两个条件：
1，P@对实质蕴含和必然化规则封闭；
2，P@包括必然存在这个性质；
哥德尔的积极性质的定义构成了一个极大集，而奥匹的P@则是任意地拣取原有的极大集中包含有“必然存在”的真子集。由于这些子集各自也是相容的集合，它们也满足安德尔森修改后的证明，因此，原来的证明便可以证明出，这些真子集中的每一个都对应于一个必然的存在者——这是奥匹把哥德尔的证明称为高尼罗式证明的原因，因为哥德尔也“只是把上帝定义为必然存在”。对公理二的修改，会把原来积极性质的集合从唯一的极大集变成这个极大集的不同子集；所以对这个公理的修改是失败的。
2）在1987年的论文中，提出建议不要把必然存在看作是积极性质之后，索贝尔并没有给出更进一步的解决方案来维持哥德尔的证明。而如果不在上帝的定义中引入存在或者引入必然存在，那么本体论证明似乎就无法达到它的效果了。是否“必然存在”也只是一个虚假的谓词？有一种说法是，由于必然存在说的是在任意可能世界中都存在，说某物必然存在，那么并不是没有给它增添信息，而是的确有所言说：无论在何种可能世界，它都存在。而我并不赞同这种看法。采取康德的观点，说某物存在并没有说出什么新的东西；而说某物必然存在，可以分解为一系列的合取式：在可能世界a存在，且在可能世界b中存在，且在可能世界c中存在……既然在每一个合取支中存在都是虚假的谓词，那么根据什么认为，在重复这个虚假的谓词多次以后，它就对于该物体或者是对于世界有所言说呢？
如果认为存在不是虚假的谓词，那么，也许我们可以定义为与其它事物发生关系？例如，可以在现实世界中定义，某物存在，当且仅当它拥有质量或者能量等可以被观测到的性质；而对于数学对象，也可以定义为，数学对象存在，当且仅当它满足某种数学关系；诸如此类等等。
3）库恩斯在2005年的文章中提出，把性质限制为内在（intrinsic）性质，这样关于世界的实然命题就不是上帝的内在性质，例如“……是自我同一的，并且2008年北京举办奥运会”这个性质便不是内在性质，因而不能算作是上帝的性质，不可以被必然现实化，于是，这样就不会出现模态坍塌。亚当斯则建议把上帝的性质限制为非关系（nonrelational）性质，这样，与世界有关的性质自然不能被算在上帝的性质里面，模态坍塌自然也不会产生了。
内在性质也许是有的，例如自我同一性[37]或者自我矛盾性；不过除此之外，我怀疑是否还有其他的内在性质，并且，对于存在着非关系的性质这一点，我也表示怀疑。前面谈到，用“可观测”来理解“存在”的话，会带来“不存在一元性质”的疑难，对于内在性质，也许会产生同样的问题：不存在内在性质，只存在关系性质。例如“……是诚实的”，意味着“如果有人问……问题，如果……回答了，那么……不会说谎”[38]。
也许模态坍塌并需要对性质做出限制来解决。或许对命题加上标签，就可以避免模态坍塌了。例如对于每个关于现实世界的命题都加上“在现实世界中”这个限定。
因而无论在哪个可能世界，这个命题都是真的，而且不会引起模态坍塌：在现实世界中，上帝拥有“……是自我同一的，并且2008年北京举办奥运会”这个性质。
三、世界的结构
如果上帝存在，那么这个事实会对世界产生什么影响？
哥德尔采取的系统是基于S5的，有T公理和E公理。而S5系统中的可能世界满足自反性（由T公理NP→P与∀ xRxx的对应）和欧性（由E公理MP→NMP与∀ x∀ y∀ z(Rxy&Rxz→Ryz)的对应），这意味着各个可能世界的地位都是相同的，所有的可能世界都互相通达且自我通达，即每个可能世界都能够成为任意地其他的可能世界，并且每个世界都能成为它自身。后者当然是符合理性，而任何宗教对此应该也不会有反驳——除非是那种认为自己既是又不是自己的宗教；而对于前者，似乎没有哪个世界具有独一无二的优越性，也许和基督教对世界的理解不同，圣经中未曾提到上帝创造了其他世界，但是却说到按上帝的形象造人，并把万物交由人来掌管[39]；也和一些哲学家对世界的理解不同——至少莱布尼茨认为现实世界是最完美的那个可能世界。
如果添加一个限制条件，赋予现实世界最高的地位会怎么样？
按照“存在与善、美是同一”的观点，并且按照“现实世界具有最高的完美”的观点，那么顺理成章地可知现实世界拥有最实在的存在。如果把Rab（世界a可通达到世界b）解读为“世界a可能变化成世界b”，并且认为在上帝促使可能世界现实化的时候，不会把可能世界的完美程度降低[40]，即Rab中b的完美程度要比a高（因而b不会比a拥有更少的实在），那么可以得出一个式子[41]：
∀ x∃ y(Rxy&∀ z(Ryz→z=y)，x、y、z代表可能世界。
这个式子是指，对任意的可能世界x，都存在着一个世界y，x可通达到y（即x可能变化成y），并且任意的可能世界z，如果y可通达到z（即y可能变化成z），那么z和y必然是同一的（即y是端点，至多只通达到自身）。
这个式子对应的模态公式是Mckinsey公式NMP→MNP，在S4的系统下，即有T公理和4公理NP→NNP的系统下，即S4.1系统[42]。这样的世界架构首先满足自反性以及传递性（由NP→NNP与∀ xy(Rxy→∀ z(Ryz→Rxz))），并且对每个世界都具有一个最值点。
那么，如何保证不同的可能世界的最值点都是同一的呢？即有一个最完美的世界？添加这么一个一阶公式也许可以保证：
∀ xyuv{[(Rxy→x=y)&(Ruv→u=v)]→x=u}
不过对应的模态公式是什么我现在无法确定，并且也不知道这个一阶公式能否用一个模态公式来表示。在只有一个世界的模型中，这是自然而然成立的；而在一个只有死点的模型中，这也是自然而然成立的。不过这个系统也许还有其它的哲学意义。
四、总结
在哥德尔的证明中，我认为最不可靠的一个公理是公理四——性质“必然存在”是积极的。由于定义中上帝拥有所有的积极性质，这意味着哥德尔把必然存在包含在上帝的定义中——这一点恰恰是高尼罗最不满托马斯·阿奎那论证的一点。
可是，如果上帝的定义中不包含存在或者必然存在这类词语，还能怎么样证明出上帝存在呢？演绎推理、逻辑推理，或是数学推理等并不提供新的知识，它们所得出的结论都是前提中已经包含有的——如果说它们的确提供了新的知识，也只是因为推理的过程对于人们而言是“新的”，是他们之前所不会的。也许，上帝存在与否，包含着这个世界的信息的宇宙论证明才是最可靠的。
【参考文献】
C. Anthony Anderson: Some Emendations of Gödel's Ontological Proof, from Faith and Philosophy, Vol. 7, July 1990
Jordan Howard Sobel: Gödel's Ontological Proof, from On Being and Saying, edited by Judith Jarvis Thomson, MIT Press, 1987
Johan van Benthem: Correspondence Theory, from Handbook of Philosophical Logic 2nd Edition, Volume 3, Editors: D. M. Gabbay and F. Guenthner, Kluwer Academic Publishers, 2001
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7-8284.00256
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阿尔文·普兰丁格：《基督教信念的知识地位》，邢滔滔、徐向东、张国栋、梁骏译，北京大学出版社，2004
托马斯·阿奎那：《上帝没有激情》，段德智主编，湖北人民出版社，2001
奥古斯丁：《忏悔录》，周士良译，商务印书馆，1996
奥古斯丁：《上帝之城》，王晓朝译，人民出版社，2006
【后记】
这个题目是我在大四第一学期时初步定下来的，当时上的课是邢滔滔老师开的《本体论论证》，学习了自阿瑟伦以来到普兰丁格的本体论证明。尽管如此，这篇论文写的仍然并不是很好，非常感谢邢老师在我写作中的指导以及宽容。
【附录】
1哥德尔的原稿如下，来自Kurt Gödel: Collected Works, Volume III：
Ontological proof
Feb. 10, 1970
P(ϕ) ϕ is positive (or ϕ ∈ P).
Axiom 1. P(ϕ ). P(ψ )⊃ P(ϕ.ψ ) (And for any number of summands.)
Axiom 2. P(ϕ ) ∨ P(~ϕ ). (Exclusive or.)
Definition 1. G(x)≡ (ϕ )[P(ϕ )⊃ ϕ (x)] (God)
Definition 2. ϕ Ess.x ≡ (ψ)[ψ (x)⊃ N(y)[ϕ (y)⊃ ψ(y)]]. (Essence of x) (Any two essences of x are necessarily equivalent.)
p⊃N q =N(p⊃ q). Necessity
Axiom 3. P(ϕ )⊃ NP(ϕ)
~ P(ϕ )⊃ N~P(ϕ)
because it follows from the nature of the property.
Theorem. G(x)⊃ G Ess.x.
Definition. E(x)≡(ϕ)[ϕ Ess x ⊃ N(∃ x)ϕ(x)]. (necessary Existence)
Axiom 4. P(E).
Theorem. G(x)⊃ N(∃y)G(y),
hence (∃ x)G(x)⊃ N(∃ y)G(y);
hence M(∃ x)G(x)⊃ MN(∃ y)G(y). (M=possibility)
M(∃ x)G(x)⊃ N(∃ y)G(y).
M(∃ x)G(x) means the system of all positive properties is compatible. This is true because of:
Axiom 5. P(ϕ).ϕ⊃ Nψ:⊃ P(ψ), which implies
(x=x) is positive and (x≠ x) is negative.
But if a system S of positive properties were incompatible, it would mean that the sum property s (which is positive) would be x≠ x.
Positive means positive in the moral aesthetic sense (independently of the accidental structure of the world). Only then are the axioms true. It may also mean pure “attribution” (I.e., the disjunctive normal form in terms of elementary properties contains a number without negation.) as opposed to “privation” (or containing privation). This interpretation supports a simpler proof.
2索贝尔的证明如下，来自Jordan Howard Sobel: Gödel's Ontological Proof：
A1.P(~ϕ)↔~P(ϕ)
A2.(P(ϕ)&□∀x(ϕ(x)→ψ(x)))→P(ψ)
Th.1.P(ϕ)→◇∃xϕ(x)
Def.G:G(x)↔∀ϕ(P(ϕ)→ϕ(x))
A3.P(G)
A4.P(ϕ)→□P(ϕ)
Def.Ess.FEssx↔ϕ(x)&∀ψ[ψ(x)→□∀y(ϕ(y)→ψ(y))]
Th.2.G(x)→GEssx
Def.NE.NE(x)↔∀ϕ[ϕEssx→□∃xϕ(x)]
A5.P(NE)
Th.3.□∃xG(x)
[1] … is positive. 数学中positive通常翻译为“正的”，例如positive number，正数；而物理与化学中则译为“阳性的”。
[2] 至少是二阶的，因为它是关于性质的性质。
[3] property.
[4] pure attribution, attribution这里译为“属性”，以和“性质property”区分。这个词组与pure good类似。
[5] privation. 缺失的性质不能被当作真正的性质。中世纪神学家在解决恶（evil）的难题时，以为恶不是真实的实在，而只是实在的缺失。就如同残疾是肢体机能的缺失一般。缺失不增加新的实体。缺失的性质并不描述关于世界的任何东西，也不增加新的知识，和其他的对世界的描述的性质不同。
[6] Kurt Gödel: Collected Works, Volume III, p435, edited by Solomon Feferman, Oxford University Press, 1995.
[7] good.
[8] negative.
[9] perfective.
[10] purely good.
[11] 托马斯•阿奎那：《上帝没有激情》，第89页，段德智主编，湖北人民出版社，2001。
[12] 同上，第114页。
[13] 奥古斯丁：《上帝之城》，12卷7章，第502页，王晓朝译，人民出版社，2006
[14] 奥古斯丁：《忏悔录》，7卷12章，第127页，周士良译，商务印书馆，1996
[15] God-like，哥德尔手稿中并没有出现这个词，我是参照Sobel 1987和Anderson 1990的文章而这么定的。
[16] Kurt Gödel: Collected Works, Volume III, p431, edited by Solomon Feferman, Oxford University Press, 1995.
[17] 当然，如果解读为上帝自身包含矛盾，那是另一回事，只是这种解读超出理性，似乎不可思议。
[18] x=x
[19] x≠x
[20] 似乎由紧致性定理，一个命题集没有模型，当且仅当存在它的一个没有模型的有限子集。假定这个系统不一致，然后从这个没有模型的有限子集和公理一，“如果一个性质是积极的，而且另一个性质也是积极的，那么这两个性质合在一起也是积极的”，总可以在一个有限步骤内找到一个反证——难点可能在于，如何挑拣出那个不一致的有限子集。
[21] 不存在恶，或者不存在缺失的世界，似乎只有在一个只存在上帝的世界里才会这样。因为只要有任意一个不同于上帝的存在a，那么a就是不完美的，在某个方面有着缺失。这样似乎得出这么一个结论：如果上帝不创造世界，那么也就没有恶的问题了。不过也许这么理解恶的产生，过于把责任推给了上帝。托马斯·阿奎那在《神学大全》1集48题3条中说到：“恶一般意指善的不在场。不过，并不是善的一切不在场都必然是恶。因为善的不在场具有‘缺失’和‘否定’良种意义。否定意义上的善的不在场并不是恶；不然的话，我们就将得出一个结论：凡是不存在的东西都是恶的；或者说，每个事物都会因为它们并不拥有属于其他事物的善而变成恶的。例如，一个人实际上并不会因为他不具有小鹿的敏捷或是狮子的力量而变成恶的。”
在一篇笔记中，说明本体论论证成立后，哥德尔431提到过：“也许这是另外一个证明？如果不是确实存在着任何实在的东西，那么也许会准确地推导出确实存在着某些东西（超越了仅仅作为概念上的实在）。”因为本体论证明仅仅是从概念出发而得出上帝存在这个先天真理，这意味着“确实存在着”的东西，它的实在，是可以被不是实存的概念所担保的。也许这可以用来解决外部世界的问题，即使所有的一切都是虚幻的，即使正在思的我也不存在，那么，毕竟还是有着某些实实在在的东西。——也许至少上帝是如此。
[22] 索贝尔在1987年的论文中给出了一个这样的证明：
公理一：性质~ϕ是积极的，当且仅当性质~ϕ的否定ϕ不是积极的。这个公理好的一半是，如果性质~ϕ是积极的，那么性质ϕ不是积极地；坏的一半是，如果性质ϕ不是积极地，那么性质~ϕ是积极的。
公理二：如果性质ϕ是积极的；并且必然地，对于任意实体x，如果x拥有性质ϕ，那么x拥有性质ψ；那么性质ψ也是积极的。
定理一：如果性质ϕ是积极的，那么就可能存在实体x，使得x拥有这个性质。
上帝的定义：某个实体是似上帝的[22]，当且仅当，它拥有任意积极的性质。
公理三：“似上帝的”这个性质是积极的。
公理四：如果一个性质是积极的，那么必然地，这个性质就是积极的。
本质的定义：某个性质是某个实体的本质，当且仅当，该实体拥有这个性质，并且这个性质严格蕴含该实体的任意性质。
定理二：如果某个实体是似上帝的，那么“似上帝的”这个性质就是它的本质。
必然存在的定义：某实体是必然存在的，当且仅当，它的任意本质必然地有实例。
公理五：性质“必然存在”是积极的。
定理三：上帝必然存在。
[23] Jordan Howard Sobel: Gödel's Ontological Proof, p248-250, from On Being and Saying, edited by Judith Jarvis Thomson, MIT Press, 1987.
[24] 通过反证法可证：假设上帝拥有非积极的性质ϕ，由公理二，~ϕ是积极的。由上帝的定义，上帝拥有~ϕ——即上帝即有ϕ又没有ϕ这个性质。
[25] 托马斯•阿奎那：《上帝没有激情》，第1页，段德智主编，湖北人民出版社，2001。
[26] 出埃及记33：20，“你不能看见我的面，因为人见我的面不能存活。”
[27] 约翰福音1：18，“从来没有人看见神，只有在父怀里的独生子将他表明出来。”
[28] 肯定的，与积极的，都是同一个意思——至少字面上是positive；而否定的，消极的，用的是negative。
[29] 前文提到在哥德尔的笔记中曾经把being当作完美，即，把存在当作是积极的性质。
[30]这里会不会有一种危险，即一种性质是积极或是消极，是肯定或是否定，只是在初始定义的时候偶然拣选的？
[31] Jordan Howard Sobel: Gödel's Ontological Proof, p251-254, from On Being and Saying, edited by Judith Jarvis Thomson, MIT Press, 1987.
[32] C. Anthony Anderson: Some Emendations of Gödel's Ontological Proof, p295-p296, from Faith and Philosophy, Vol. 7, July 1990.
[33] Jordan Howard Sobel: Gödel's Ontological Proof, p254, from On Being and Saying, edited by Judith Jarvis Thomson, MIT Press, 1987.
[34] Robert C. Koons: Sobel on Gödel's Ontological Proof, 2005.
[35] Kurt Gödel: Collected Works, Volume III, p402, edited by Solomon Feferman, Oxford University Press, 1995.
[36] Oppy: Response to Gettings, 2000.
[37] 自我同一也许不能算作是真正的性质，因为它什么也没有言说。
[38] 这里有一个问题，未曾实现过的性质是否被个体所拥有？例如灯泡在接通电源时会发亮，而如果一个灯泡一直没有被接通电源，那么它是否会发亮？例如一个人，如果他一辈子都未曾说过话，那么他是否会说话？如果一个人一辈子都未曾提起过质量超过1公斤的物体，那么他是否拥有“能提起质量超过1公斤的物体”这个性质？
[39] 《创世纪》1章26节。
[40] 这是由上帝的至善所保证的。
[41] 这个式子是我所知的最贴切“特殊世界”的式子，一定还有更贴切的，只是我不知道罢了。
[42] Johan van Benthem: Correspondence Theory, from Handbook of Philosophical Logic 2nd Edition, Volume 3, p356, Editors: D. M. Gabbay and F. Guenthner, Kluwer Academic Publishers, 2001.
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